Рассеяние частиц

Аннотация: изучение качественной стороны решения уравнения Шредингера для движения частиц при наличии потенциального барьера, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. Примеры явлений. Традиционное изложение темы, дополненное демонстрацией на компьютерной модели.

Рассмотрим одномерное движение. Еще раз убедимся, что даже в этом простейшем случае проявляются принципиальные отличия движения микрочастиц от классического. При одномерном движении рассеяние означает изменение направления движения на противоположное. Пусть на пути частиц расположен потенциальный барьер конечной ширины, в области барьера и вне его потенциальные энергии частицы постоянны, но

эти потенциальные энергии различаются на конечную величину. Мы предположим, что на границе потенциальная энергия меняется скачком (рис.1). В реально встречающихся условиях переход, конечно, плавный. Выберем систему координат так, чтобы ось x была параллельна направлению движения частицы. Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

На рисунке горизонтальная стрелка показывает начальное направление движения частиц, а ее положение по вертикали - энергию частиц.

В случае, когда полная энергия частицы E больше ее потенциальной энергии U₀ в области II, на границе происходит частичное рассеяние (об этом см. лекцию "Рассеяние частиц. Эффект Рамзауэра").

Рассмотрим ситуацию, когда E < U₀. Классическая частица, подходя к барьеру, высота которого больше ее полной энергии, отражается от него. Пройти через такой барьер, т.е. через область, в которой ее кинетическая энергия стала бы отрицательной, она не может.

Рассмотрим квантовомеханическое решение. Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок). Поскольку при заданных условиях потенциальная энергия U не может быть записана в виде аналитической функции, мы напишем уравнение Шредингера отдельно для областей (I), (III) (где потенциальные энергии одинаковы, U₀ = 0) и для области (II) и найдем решения в обоих случаях, т.е. функции Ψ_1, 3 и Ψ₂. На границе при x = 0 в силу непрерывности волновой функции и ее производной приравняем Ψ₁ и Ψ₂ и их первые производные. Проделаем то же при x = a для функций Ψ₂ и Ψ₃. Это позволит найти необходимые коэффициенты.

где m и E — масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначения

В областях (I, III) это бегущие плоские волны, а в области (II)- затухающая волна.

Отличие рассматриваемой задачи от изученных в лекции "Рассеяние частиц. Одномерное движение" состоит в том, что здесь отражение имеет место как на границе областей (I) и (II), так на границе (II) и (III). Поскольку в области (III) потенциал постоянен, отражения нет, и коэффициент b₃ = 0.

Для нас представляет интерес в первую очередь коэффициент прохождения D, который есть отношение

где v - скорость частицы. Она одинакова для всех частиц в областях I и III.

Подробности вычислений можно посмотреть, например, в книге Э.В.Шпольского "Атомная физика", т.1, стр.499.

Волновая функция (рис.2) отлична от нуля во всех трех областях. Внутри барьера она экспоненциально затухает, поэтому вероятность прохождения значительно меньше единицы. Это прохождение сквозь запрещенную классической механикой область и называют "туннельным эффектом".

Мы приведем окончательную формулу для коэффициента прохождения через барьер прямоугольной формы

Эта формула показывает, во-первых, что коэффициент прохождения не равен нулю, во-вторых, его величина очень сильно зависит от ширины барьера a.

Если задаться разностью U₀ - E = 5 эВ, то получим следующие значения коэффициента прохождения D для различной ширины барьера.

a (нм)	0.1	0.13	0.15	0.18	0.2	0.5	1.0
D	0.1	0.051	0.032	0.016	0.010	1.1 10^-5	1.1 10^-10

Поупражняйтесь сами. Чтобы лучше представить себе, насколько значителен эффект, воспользуйтесь таблицей ниже. Частица - электрон (m = 9.1 10^-31кг). Введите высоту потенциального барьера U₀ (в эВ), энергию электрона E (в эВ) и ширину барьера a (в нм), нажмите кнопку "Ввод". Компьютер рассчитает коэффициент прохождения D.

В Вашем распоряжении модель (требует установки Java, запускается в IE), выполненная в виде апплета, которая позволяет наблюдать за движением волнового пакета при наличии потенциального барьера. Форму и параметры барьера выбираете Вы. Движущиеся частицы описывается волновым пакетом, энергию и ширину которого задаем самостоятельно. Посмотрите, как прошедшая волна зависит от соотношения высоты барьера и энергии частиц, от ширины барьера и его формы.

Ряд явлений, недоступных для объяснения в классической механике, объясняется именно благодаря рассмотренным выше своеобразным свойствам микрочастиц. Обратимся к ним.

Радиоактивный распад с испусканием α-частиц:

В самом конце XIX века А.Беккерелем было открыто явление радиоактивности: самопроизвольное испускание частиц (в том числе и α-частиц) атомами. Дальнейшие эксперименты позволили определить периоды полураспада и энергии частиц. Для α-распада результаты казались загадочными: энергии α-частиц оказались почти одинаковыми (~5 МэВ), а периоды полураспада отличались на много порядков. Вообще было не понятно, как α-частица может покинуть ядро. Вне ядра на нее действуют кулоновские силы отталкивания, энергия взаимодействия меняется с расстоянием как 1/r (рис.3), внутри ядра преобладает ядерное притяжение (V < 0). На границе ядра потенциальная энергия V составляет 25-30 МэВ! Напоминаем, что энергия α-частиц ~5 МэВ. Этот парадокс нашел объяснение только после создания квантовой теории туннельного эффекта (Г.А.Гамов). Незначительное изменение энергии α-частиц и связанное с ним изменение ширины барьера (см. рис.3) сильно сказывается на величине прозрачности барьера D (энергия и ширина барьера стоят в показателе экспоненты).

Электроны свободно перемещаются по металлу, но покинуть его самопроизвольно не могут. При попытке электрическое поле ионов возвращает электрон обратно. Хорошим приближением при описании движения является потенциал в виде прямоугольной потенциальной ямы (на рис.4 изображен ее правый край; горизонтальные черточки символизируют заполненные электронами уровни). Для освобождения электрона надо сообщить ему энергию A, называемую работой выхода. Это возможно за счет энергии электромагнитного излучения (фотоэффект), тепловой энергии (термоэлектронная эмиссия) и т.п. Было также обнаружено, что электроны могут вырываться из металла при сколь угодно низких температурах под влияние сильного электрического поля. Это явление получило название холодной электронной эмиссии. Качественно это явление можно объяснить и в рамках классической физики, но расчетные значения напряженности поля, вызывающей заметный ток, на несколько порядков выше экспериментальных значений.

Если исследуемый образец металла - отрицательный электрод плоского конденсатора, распределение потенциальной энергии у образца изменится и станет таким, как показано на рис.5. В плоском конденсаторе U(x) = -eEx (заряд электрона отрицательный) плюс энергия притяжения электрона к его зеркальному отражению (электрон, находящийся на расстоянии x от поверхности металла, деформирует распределение заряда в нем таким образом, что это эквивалентно наличию заряда +e на расстоянии x внутри металла). Энергия притяжения электрона и заряда-отображения e²/4x. В итоге получаем

На рисунке стрелкой показана область, где потенциал деформирован за счет "поля изображения". В этой области потенциал несколько понижается, работа выхода электрона из металла уменьшается. При полях напряженностью порядка 10¹⁰ В/м (!) работа выхода становится нулевой, и электроны покидают металл (таково классическое объяснение явления холодной эмиссии). В действительности эмиссия электронов начинается при приложении электрического поля напряженностью в сотни раз меньшей. Электроны выходят из металла за счет туннельного эффекта. Прозрачность барьера можно посчитать по формуле

Для плотности тока холодной эмиссии j, которая пропорциональна коэффициенту прохождения через барьер, получаем

где E - напряженность поля, E₀ - эффективное электрическое поле в металле

Здесь T_e - кинетическая энергия электрона. При A - T_e = 1эВ E₀ ~ 10⁸ В/м.

Холодная эмиссия электронов находит широкое применение при изучении физических свойств поверхностей, адсорбции газов, явлений катализа и коррозии. Эмиттеры с холодной эмиссией используются в технике, особенно в тех случаях, когда необходимо получить высокую плотность тока. Для создания большой напряженности электрического поля вблизи поверхности металла эмиттеры делают в виде поверхностей с малым радиусом кривизны: в виде острия, лезвия и т.п. На рис.6 микрофотография эмиттера (ОИЯИ, Дубна). Высота острий ~6 мкм, диаметр у основания ~1 мкм. Плотность тока многоострийных катодов может достигать 10⁶ А/см².

Сканирующий туннельный микроскоп (СТМ) был создан в 1982 г сотрудниками исследовательского отдела фирмы IBM Г. Биннигом и Х. Рёрером. Он открыл очень многообещающие возможности научных и прикладных исследований в области нанотехники и явился первым техническим устройством, с помощью которого была осуществлена наглядная визуализация атомов и молекул.

Принцип работы СТМ заключается в следующем: к поверхности проводящего образца на расстояние, составляющее доли нанометра, подводится очень тонкое металлическое острие (игла). При приложении между образцом и иглой разности потенциалов ~ 10^-1 В в цепи (рис.7) появляется ток, обусловленный туннелированием электронов через зазор между ними. Поскольку прозрачность потенциального барьера экспоненциально зависит от ширины барьера (см. формулы на рисунке), то туннельный ток при увеличении зазора между иглой и поверхностью образца убывает по экспоненте и уменьшается примерно на порядок при увеличении зазора s на каждые 0,1 нм. Экспоненциальная зависимость туннельного тока от расстояния обеспечивает чрезвычайно высокую разрешающую способность СТМ. Вдоль оси, перпендикулярной к поверхности образца, разрешающая способность СТМ составляет ~ 10^-3 нм, а вдоль осей, параллельных поверхности образца, ~ 10^-1 нм.

Игла изготавливается из проводящего материала, конец ее имеет поперечный размер малые доли микрона (рис.8). Движение иглы над поверхностью образца с очень высокой точностью осуществляют при помощи пьезопластины, которая способна изменять свои линейные размеры при приложении к ней электрического поля. Перемещая иглу СТМ вдоль поверхности образца, т.е. осуществляя сканирование поверхности, можно получать информацию о рельефе поверхности с атомным пространственным разрешением.

Первая испытательная установка представляла собой смесь лабораторной работы по физике и научной фантастики. Ее сделали на основе эксикатора (осушителя), обмотанного огромным количеством обыкновенного скотча. В этой охлаждаемой камере над сверхпроводящей свинцовой чашей левитировала жесткая платформа, снабженная постоянными магнитами. На ней были закреплены площадка на трех ножках с образцом, пьезодвигатели и держатель иглы. Уникальное сооружение потребляло 20 л жидкого гелия в час. Именно на этом экзотическом устройстве после нескольких месяцев непрерывной работы получили первые результаты – подтвердили экспоненциальную связь между туннельным током и расстоянием от иглы до образца. Это был первый и последний случай использования левитации в туннельной микроскопии – впоследствии использовалась виброразвязка СТМ с помощью системы пружин или активных элементов с обратной связью.

Снимок, который в свое время сильно удивил меня. На снимке (рис.9) видно, что поверхность кристалла с дефектом: одного атома не хватает.

Возможности туннельного микроскопа не ограничиваются разглядыванием поверхностей. С его помощью, например, можно заставить атомы перемещаться вдоль поверхности и собирать из них искусственные структуры нанометровых размеров, как на рис.10, где буквы имеют толщину в десяток атомов. Или удалять отдельные атомы. Перспективны исследование макромолекул, вирусов и других биологических структур, нанотехнологии.

Достоинства туннельного микроскопа быстро были оценены мировым сообществом, и в 1986г. Г. Биннигу и Х. Рёреру присуждена нобелевская премия:

1986

ERNST RUSKA for his fundamental work in electron optics, and for the design of the first electron microscope.
GERD BINNIG and HEINRICH ROHRER for their design of the scanning tunneling microscope.

(за создание сканирующего туннельного микроскопа)

Вы можете посмотреть текст лекции, с которой при вручении премии выступил Г. Бинниг "Scanning Tunneling Microscopy - from birth to adolescience" (файл pdf 842 кб).

Однако у сканирующего туннельного микроскопа есть один недостаток: с его помощью можно изучать только материалы, хорошо проводящие электрический ток. Такое ограничение вытекает из самого принципа работы СТМ – для эффективного туннелирования (просачивания) электронов через зазор между поверхностью исследуемого образца и чувствительным элементом прибора (иглой) на поверхности должно быть много, как говорят физики, электронных состояний.

Но вот в конце 1986 года Бинниг предложил конструкцию прибора нового поколения, который тоже позволяет исследовать поверхности с беспрецедентной детальностью, но уже вовсе не обязательно электропроводящие. Новый прибор был назван атомным силовым микроскопом, и сегодня именно он представляет наибольший интерес для исследователей.

Принцип действия атомного силового микроскопа (АСМ) основан на использовании сил атомных связей, действующих между атомами вещества. На малых расстояниях между двумя атомами (порядка 10^-10 м) действуют силы отталкивания, а на больших – силы притяжения. Совершенно аналогичные силы действуют и между любыми сближающимися телами. В сканирующем атомном силовом микроскопе такими телами служат исследуемая поверхность и скользящее над нею острие. Обычно в приборе используется алмазная игла, которая плавно скользит над поверхностью образца (как говорят, сканирует эту поверхность). При изменении силы F, действующей между поверхностью и острием, пружинка П, на которой оно закреплено, отклоняется, и такое отклонение регистрируется датчиком D. В качестве датчика в АСМ могут использоваться любые особо точные и чувствительные – прецизионные – измерители перемещений, например оптические, емкостные или туннельные датчики.

На схеме (рис. 12) О – острие (игла), П – пружина, на которой оно закреплено; P, Px, Py, Pz – пьезоэлектрические преобразователи. При этом Px и Py служат для сканирования образца под иглой, а Pz управляет расстоянием от острия до поверхности, D – туннельный датчик, который регистрирует отклонения пружинки с острием.

Атомный силовой микроскоп может использоваться для определения микрорельефа поверхности любых веществ, как проводящих, так и непроводящих, с его помощью можно наблюдать всевозможные несовершенства структуры, локализованные на изучаемых поверхностях, например, дислокации или заряженные дефекты, а также всяческие примеси.

U₀ = эВ	E = эВ	a = нм.
D =

Рассеяние частиц. Туннельный эффект

Конспект лекции с демонстрацией