Потери энергии заряженной частицей

Этот вывод не претендует на получение точной формулы, но показывает, от каких параметров и как зависят удельные потери энергии заряженных частиц.

Рассмотрим тяжёлую нерелятивистскую заряженную частицу с зарядом ze и скоростью v, пролетающую вдоль оси x на расстоянии r от одного из атомных электронов рис. 1). Полагаем, что скорость частицы v много больше скорости электрона, и что электрон можно считать свободным (т.е. пренебрегаем энергией связи электрона в атоме). Параллельная составляющая силы F_|| не окажет влияние на электрон, т.к. при подлете частицы к электрону F_|| имеет один знак, а при удалении противоположный. Поперечная же компонента F_⊥, наоборот, все время имеет один и тот же знак, так что вклад от нее накапливается.

В момент наибольшего сближения частиц сила равна F_⊥ = ze²/(4πε₀r²). Если время взаимодействия взять приближённо равным Δt ≈ 2r/v, то переданный электрону импульс равен Δp ≈ F_⊥Δt = 2ze²/(4πε₀rv), а переданная ему энергия

Здесь m_e - масса электрона. Формула (1) позволяет оценить энергию, переданную одному электрону, имеющему прицельное расстояние r. На пути dx электроны с прицельными параметрами от r до r+dr , будут находиться в тонкостенном цилиндре, изображенном на рис.1. В объёме этого цилиндра dV, содержится число электронов dN = n_e·dV, где n_e - концентрация электронов. Так как dV = 2πr·dr·dx, то суммарная энергия dE, переданная этим электронам на пути dx частицей, даётся выражением

Интегрируя по r от r_min до r_max, получим величину удельных ионизационных потерь

При r_max → ∞ и r_min → 0 интеграл расходится. Реально величина r_max ограничена тем, что при больших r и малых энергиях частицы атомный электрон уже не может рассматриваться как свободный, так как энергия взаимодействия будет сравнима с потенциалом ионизации. Ограничение на нижний предел интегрирования r_min связано с тем, что электрону тяжёлой нерелятивистской заряженной частицей может быть передана максимальная энергия T_{e макс} = 2m_ev². Учет этих обстоятельств приводит к следующему выражению для логарифма

Здесь I - средняя энергия связи электронов в атоме, c - скорость света. Подстановка (4) в (3) дает формулу (1) основного текста лекции.