Решение уравнения Шредингера для сферически симметричных состояний атома водорода

Выпишем уравнение для радиальной части волновой функции R(r)

,   ( 1 )

которое предстоит решить. Введем обозначения

,   ( 2 )

в которых мы учли, что рассматриваем связанные состояния ( E < 0 ). Уравнение преобразуется к виду

.   ( 3 )

При больших r, когда не существенны члены уравнения, имеющие r в знаменателе, решением является экспоненциальная функция. Поэтому будем искать решение исходного уравнения в виде функции, содержащей такую экспоненту

.   ( 4 )

Продифференцируем (4) дважды, подставим производные в (3), приведем подобные члены и получим уравнение для неизвестной функции U(r)

.   ( 5 )

Решение (5) будем искать в виде степенного ряда

.   ( 6 )

Найдем первую и вторую проиводные от U(r)

   ( 7 )

и подставим в уравнение (5). Теперь у нас есть уравнение, содержащее коэффициенты a_k,

   ( 8 )

или в развернутом виде

.   ( 9 )

Чтобы полином при любом значении r был равен нулю, коэффициенты при всех степенях r должны быть равны нулю. Наименьшая степень в нашем уравнении ( j-2 ) у первого слагаемого. Следовательно, коэффициент j(j-1) = 0. Очевидные решения j = 0 и j = 1. Но первое значение дает ряд U(r) = a₀ + ..., начинающийся с константы. Подстановка его в (4) приводит к решению R(r) = a₀/r + ..., расходящемуся при r -> 0. Такое решение неприемлемо для волновой функции. Значит суммирование в (6) и последующих формулах начинается с k = 1. Суммируем все коэффициенты при произвольной степени r^k и приравниваем нулю

.   ( 10 )

Найдем отношение коэффициентов

.   ( 11 )

При больших k это отношение стремится к

.   ( 12 )

Немного отвлечемся и рассмотрим разложение в ряд экспоненты

.   ( 13 )

Отношение последующего коэффициента разложения к предыдущему совпадает с (12)

.   ( 14 )

Отсюда вывод: функция U(r) в общем случае (для произвольных значений β) расходится при больших r.

Чтобы этого избежать, ограничим ряд. Пусть при некотором   k = n

.   ( 15 )

Тогда

.   ( 16 )

Из уравнения (15) находим возможные значения β, вспоминаем, что в выражение β входит энергия E и получаем

.   ( 17 )

Приведем выражения для первых двух волновых функций

.

.   ( 18 )

Значения коэффициентов a₁ и a₂ определяют из условия нормировки волновых функций. Окончательные выражения волновых функций атома в основном состоянии (n = 1) и первом возбужденном (n = 2) приведены в тексте лекции. Итак, если мы хотим получить решение, удовлетворяющее требованиям к волновой функции, необходимо допустить квантование энергии атома.

Если возникли какие вопросы, напишите мне.