ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

§ 5. Обработка косвенных измерений

В лабораторной практике большинство измерений – косвенные и интересующая нас величина является функцией одной или нескольких непосредственно измеряемых величин:

Как следует из теории вероятностей, среднее значение величины определяется подстановкой в формулу (13) средних значений непосредственно измеряемых величин, т.е.

Требуется найти абсолютную и относительную ошибки этой функции, если известны ошибки независимых переменных.

Рассмотрим два крайних случая, когда ошибки являются либо систематическими, либо случайными. Единого мнения относительно вычисления систематической ошибки косвенных измерений нет. Однако, если исходить из определения систематической ошибки как максимально возможной ошибки, то целесообразно находить систематическую ошибку по формулам

   (15)  или

,   (16)

где 

частные производные функции N = ƒ(x, y, z, ...) по аргументу x, y, z..., найденные в предположении, что все остальные аргументы, кроме того, по которому находится производная, постоянные;
δx, δy, δz – систематические ошибки аргументов.

Формулой (15) удобно пользоваться в случае, если функция имеет вид суммы или разности аргументов. Выражение (16) применять целесообразно, если функция имеет вид произведения или частного аргументов.

Для нахождения случайной ошибки косвенных измерений следует пользоваться формулами:

  (17)   или

, (18)

где Δx, Δy, Δz, ... – доверительные интервалы при заданных доверительных вероятностях (надежностях) для аргументов x, y, z, ... . Следует иметь в виду, что доверительные интервалы Δx, Δy, Δz, ... должны быть взяты при одинаковой доверительной вероятности P₁ = P₂ = ... = P_n = P.

В этом случае надежность для доверительного интервала ΔN будет тоже P.

Формулой (17) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид суммы или разности аргументов. Формулой (18) удобно пользоваться в случае, если функция N = ƒ(x, y, z, ...) имеет вид произведения или частного аргументов.

Часто наблюдается случай, когда систематическая ошибка и случайная ошибка близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае общая ошибка ∑ находится как квадратичная сумма случайной Δ и систематической δ ошибок с вероятностью не менее чем P, где P – доверительная вероятность случайной ошибки:

.

При проведении косвенных измерений в невоспроизводимых условиях функцию находят для каждого отдельного измерения, а доверительный интервал вычисляют для получения значений искомой величины по тому же методу, что и для прямых измерений.

Следует отметить, что в случае функциональной зависимости, выраженной формулой, удобной для логарифмирования, проще сначала определить относительную погрешность, а затем из выражения ΔN = ε ¯N найти абсолютную погрешность.

Прежде чем приступать к измерениям, всегда нужно подумать о последующих расчетах и выписать формулы, по которым будут рассчитываться погрешности. Эти формулы позволят понять, какие измерения следует производить особенно тщательно, а на какие не нужно тратить больших усилий.

При обработке результатов косвенных измерений предлагается следующий порядок операций:

1. Все величины, находимые прямыми измерениями, обработайте в соответствии с правилами обработки результатов прямых измерений. При этом для всех измеряемых величин задайте одно и то же значение надежности P.
2. Оцените точность результата косвенных измерений по формулам (15) – (16), где производные вычислите при средних значениях величин.
   Если ошибка отдельных измерений входит в результат дифференцирования несколько раз, то надо сгруппировать все члены, содержащие одинаковый дифференциал, и выражения в скобках, стоящие перед дифференциалом взять по модулю; знак d заменить на Δ (или δ).
3. Если случайная и систематическая ошибки по величине близки друг к другу, то сложите их по правилу сложения ошибок. Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.
4. Результат измерения запишите в виде:
   N = ƒ (¯x, ¯y, ¯z, ...) ± Δƒ.
5. Определите относительную погрешность результата серии косвенных измерений
   ε =   Δƒ  · 100%.
   ¯¯ƒ¯

   Приведем примеры расчета ошибки косвенного измерения.

   Пример 1.Находится объем цилиндра по формуле

   V = π d² h  ,
   

   ¯¯¯4¯¯

   где d – диаметр цилиндра, h – высота цилиндра.

   Обе эти величины определяются непосредственно. Пусть измерение этих величин дало следующие результаты:

   d = (4.01 ± 0.03) мм ,

   h = (8.65 ± 0.02) мм, при одинаковой надежности Р = 0.95.

   Среднее значение объема, согласно (14) равно

   V = 3.14 · (4.01)² · 8.65  = 109.19 мм3
   

   ¯¯¯¯¯¯¯¯¯4¯¯¯¯¯¯¯¯

   Воспользовавшись выражением (18) имеем:

   ln V = ln π + 2 lnd + lnh - ln4;
    ;
    ;
    ;
    .

   Так как измерения производились микрометром, цена деления которого 0.01 мм , систематические ошибки
   δd = δh = 0.01 мм. На основании (16) систематическая ошибка δV будет

    .

   Систематическая ошибка оказывается сравнимой со случайной, следовательно

    .

   Таким образом, результат измерения оказывается

   V = (109 ± 2) мм³ при P = 0.95
    .

   Пример 2. Найти абсолютную и относительную погрешности для следующей функциональной зависимости:

    .

   В этом случае удобнее сначала искать относительную погрешность. Тогда

   
   = d[ln(m₁ + m₂ - m₃)] - d(ln2) - d(ln m₁) - d(ln m₂) =
    .

   До сих пор подразумевается математический смысл дифференциала, и знаки слагаемых учитываются. Раскроем теперь выражение d(m₁ + m₂ - m₃) = dm₁ + dm₂ - dm₃ и разделим почленно на знаменатель. Затем объединим все члены, содержащие дифференциалы одной и той же переменной:

   
    .

   Используя формулу (18), получим

    .

   Абсолютную случайную погрешность найдем из выражения

   Δτ = ε ·¯¯τ

   Используя формулу (16) получаем

    .

   Абсолютную систематическую ошибку найдем из выражения

   δτ = ε ·¯¯τ

   Приведем таблицу расчета систематических погрешностей для простейших функций.

Таблица расчета случайных погрешностей для простейших функций.

N	ƒ	Δƒ	ε =Δƒ/ƒ	N	ƒ	Δƒ	ε =Δƒ/ƒ
1	x + y			6
2	x - y			7
3				8
4				9
5				10