Наши задачи: на примере открытия существования ядра в атоме, сделанным Э. Резерфордом в 1911 году, продемонстрировать основной метод исследования микромира, определить понятие эффективного сечения взаимодействия.
Содержание
Человек - существо макроскопическое, и нам недоступно непосредственное восприятие микрообъектов. Все измерения в ядерной физике - косвенные. Посмотрим, как это делается на примере установления структуры атома.
Атомы долгое время представлялись как неделимые частицы вещества (греческое слово atomos - неделимый). Размер атома имеет порядок 10-10 м.
В последнее десятилетие XIX века был сделан ряд открытий (рентгеновское излучение, естественная радиоактивность, существование носителя элементарного заряда- электрона), приводящих к осознанию того, что атомы имеют сложную структуру. Поскольку в состав атома входят электроны, а атомы нейтральны, атом должен содержать и положительный заряд.
Итак, есть две модели. В качестве рабочей гипотезы примем существование ядра. Далее проводим расчеты и сопоставляем с результатами опыта. Если будет получено удовлетворительное согласие, гипотезу принимаем.
Примем ряд обозначений: ze - заряд налетающей частицы (для альфа-частицы z=2), Ze - заряд ядра, mα - масса альфа-частицы, M - масса ядра, v - скорость альфа-частицы. Имеет смысл рассматривать столкновение частиц в системе центра инерции. И тогда вместо решения задачи о движении двух частиц (альфа-частицы и ядра) перейдем к задаче о движении одной частицы с приведенной массой μ относительно неподвижного центра, где μ
Энергия кулоновского взаимодействия частиц U равна
Запишем законы сохранения энергии (1) и момента количества движения (2)
Решение системы (см. Приложение) приводит к формуле, связывающей прицельный параметр b и угол рассеяния в системе центра инерции θ,
Но попытка проверить эту формулу на практике потерпит неудачу: если энергия альфа-частиц, скажем, 5 МэВ, угол рассеяния около 30 градусов, то прицельное расстояние имеет порядок 10-14 м, то есть за гранью измеримого.
Получение результата, подлежащего опытной проверке
Пусть у нас есть пластина единичной площади с отверстиями (рис.2). Всего N отверстий каждое площадью s0. На эту пластину перпендикулярно ей падает n точечных частиц. Какая доля частиц пройдет через пластину? Очевидно
Доля частиц, испытавших взаимодействие (в нашем примере прошедших через отверстия), отнесенная к числу центров взаимодействия на единице площади мишени, называют эффективным сечением взаимодействия (почему эффективным, поясним позднее). В нашем примере сечение σ = s0.
Поскольку связь угла рассеяния θ и прицельного параметра b однозначная, диапазону углов рассеяния от θ до θ+dθ соответствует диапазон прицельных параметров от b до b+db. Вычислим долю альфа-частиц, прицельное расстояние которых
заключено между θ и θ+dθ. Альфа-частицы, удовлетворяющие этому условию, попадают в кольцо с внутренним радиусом b и внешним b+db (см. рисунок).
Учитывая малость db, площадь кольца 2πbdb. Если на единице площади 1 ядро-мишень, получаем
Здесь dn - число частиц, попадающих в кольцо, n - число частиц, падающих на единичную площадку. Найдем b и дифференциал db, используя формулу (3)
Знак "-" в последней формуле показывает, что с увеличением b угол θ уменьшается. При вычислении площади кольца мы его опустим.
Подставим выражения для b и db в формулу (5), умножив числитель и знаменатель на 2sin(θ/2).
В числителе угловой части оказывается выражение для элемента телесного угла dΩ. И окончательно получаем формулу для дифференциального сечения рассеяния, известную как формула Резерфорда
Смысл его - доля рассеянных частиц в единичный телесный угол вблизи θ, отнесенная к числу центров взаимодействия на единице площади мишени.
Если у нас стоит детектор под углом θ, который стягивает к мишени телесный угол ΔΩ, мишень имеет толщину t и концентрацию ядер NC, то число рассеянных частиц, попадающих в детектор, равно
На рисунке слева в камере (5) альфа-частицы от источника (1) падают на фольгу (2). Рассеянные частицы попадают на прозрачный экран (3), покрытый ZnS, вызывают вспышки света, наблюдаемые в микроскоп (4). Экран с микроскопом можно повернуть вокруг мишени. Вспышки света слабые. Экспериментатор примерно час сидел в темноте, чтобы повысить чувствительность глаз, а затем минут 15 считал рассеянные частицы, больше не позволяла усталость.
Из формул (8) и (9) следует, что при изменении угла θ
Постоянство этого произведения и проверено на опыте. Результаты для рассеяния на фольге из золота приведены таблице.
| Угол отклонения θ, град | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 105 | 120 | 135 | 150 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Среднее число отсчетов | 132000 | 7800 | 1435 | 477 | 211 | 69.5 | 51.9 | 43.0 | 33.1 |
 |
38.4 | 35.0 | 30.8 | 29.8 | 29.1 | 27.5 | 29.0 | 31.2 | 28.8 |
Из таблицы видно, что число отсчетов меняется в очень широких пределах (примерно в 3500 раз), тогда как произведение dN·sin4(θ/2) остается приблизительно постоянным (изменяется только на 30%).
Делаем вывод: предположение о наличии в атоме ядра с зарядом Ze верно, но теория требует уточнения.
Действительно, формула (8) не может быть правильной, т.к. при θ → 0 выражение стремится к бесконечности. Чего не учли при выводе? Рассмотрена задача о рассеянии альфа-частиц на точечном заряде Ze. В действительности ядро окружено электронами, и при больших прицельных расстояниях (им соответствуют малые углы рассеяния θ) эффективный заряд будет меньше, и рассеяние слабее. Если b порядка 10-10 м атом нейтрален. Для больших углов рассеяния b порядка 10-14 м, и надо учесть конечные размеры ядра, что уменьшит рассеяние и в этой области углов θ. Кроме того, при θ > 90° вступают в действие ядерные силы притяжения.
Самостоятельные измерения
Эрнест Резерфорд - лауреат нобелевской премии по химии(1908г.). Присуждена она за проведенные им исследования в области распада элементов в химии радиоактивных веществ
Вы можете посмотреть текст статьи, опубликованной в 1911 году Э.Резерфордом "Рассеяние α- и β-частиц веществом и строение атома" и докладом Э.Резерфорда при вручении ему нобелевской премии (1908г.) "Химическая природа α-частиц, испускаемых радиоактивными веществами"(файлы pdf).
ERNEST RUTHERFORD for his investigations into the disintegration of the elements, and the chemistry of radioactive substances.
Примечание. Сечение взаимодействия называют эффективным, так как в редких случаях (например, поглощение нейтронов с энергией порядка 10 МэВ ядрами) оно совпадает по величине с площадью центра взаимодействия. Для медленных нейтронов сечение поглощения может быть в миллион раз больше (из-за проявления волновых свойств нейтрона), для нейтрино - слабо взаимодействующей частицы - в 1019 раз меньше.
Примерно через 40 лет после опытов Э.Резерфорда рассеяние частиц использовано для исследования структуры ядер. Так как размер ядра примерно в 10000 раз меньше чем атома, частицами-бомбардирами служили электроны, ускоренные до энергий порядка 102 МэВ. И установка для регистрации рассеянных электронов (см. фото)
не примитивная с визуальным счетом частиц, а спектрометр, позволяющий кроме углового получить и распределение электронов по энергии. Вся эта махина перемещается по рельсам для задания угла рассеяния θ. Схема нахождения распределения заряда в ядре ρ(r) такова. Рассчитывают
, сравнивают с экспериментальным 
и подбирают параметры ρ(r), обеспечивающие лучшее согласие.
ПРИЛОЖЕНИЕ. Связь угла рассеяния θ и прицельного параметра b
На рисунке 1b 
импульс частицы до рассеяния, 
- после рассеяния. Закон сохранения энергии требует равенства начальной и конечной энергий частицы, а, следовательно, и модулей импульсов (в процессах сближения и удаления частицы кинетическая энергия сначала уменьшается из-за кулоновского отталкивания, а затем восстанавливает свое значение). Следовательно, треугольник - равнобедренный. Модуль изменения импульса при рассеянии равен
Теперь вспомним механику, а именно, как связаны изменение импульса и сила
Спроектируем это равенство на направление 
Из рисунка 1 видно, что
Произведем замену переменных в выражении (П3), перейдем к интегрированию по углу φ. Учтем, что
и получим
Теперь приравняем (П1) и (П6) и получим окончательно формулу (3).
Если устали, то вот забавные и поучительные случаи из жизни Э. Резерфорда
Если возникли вопросы, напишите.